Parábola
Secciones cónicas.
La trayectoria de una pelota que rebota es una sucesión de
parábolas.
En matemáticas, una parábola (del griego παραβολή) es la
sección cónica resultante de cortar uncono recto con un plano cuyo ángulo de
inclinación respecto al eje de revolución del cono sea igual al presentado por
su generatriz. El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha rectaSe define
también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de
una recta llamada directriz y un punto exterior a ella llamado foco. En
geometría proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las
rectas que unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o
semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias
aplicadas debido a que su forma se corresponde con las gráficas de las
ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de
los cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver
movimiento parabólico ytrayectoria balística).
Propiedades geométricas
Diferentes elementos de una parábola.
Diagrama que muestra la propiedad reflexiva, la directriz
(verde), y las líneas que unen el foco y la directriz de la parábola (azul)
Aunque la identificación de parábola con la intersección
entre un cono recto y un plano que forme un ángulo con el eje de revolución del
cono igual al que presenta su generatriz, es exacta, es común definirla también
como un lugar geométrico:
Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos de un
plano que equidistan de una recta dada, llamada directriz, y de un punto
exterior a ella, llamado foco.
De esta forma, una vez fija una recta y un punto se puede
construir una parábola que los tenga por foco y directriz de acuerdo a la
siguiente construcción. Sea T un punto cualquiera de la recta directriz. Se une
con el foco dado F y a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por
el punto medio) del segmento TF. La intersección de la mediatriz con la
perpendicular por T a la directriz da como resultado un punto P que pertenece a
la parábola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos T se puede aproximar
tantos puntos de la parábola como sea necesario.
De la construcción anterior se puede probar que la parábola
es simétrica respecto a la línea perpendicular a la directriz y que pasa por el
foco. Al punto de intersección de la parábola con tal línea (conocida como eje
de la parábola) se le conoce como vértice de la parábola y es el punto cuya
distancia a la directriz es mínima. La distancia entre el vértice y el foco se
conoce como distancia focal o radio focal.
Los puntos de la parábola están a la misma distancia del
foco F y de la recta directriz.
Construcción de puntos en una parábola.
Lado recto
El lado recto mide 4 veces la distancia focal
Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa
por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto.
La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia
focal.
Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las
respectivas proyecciones sobre la directriz, denotando por W la proyección del
foco F sobre la directriz, se observa que FEUW y DFWT son cuadrados, y sus
lados miden FW=2FV. Por tanto el segmento DE es igual a 4 veces el segmento FV
(la distancia focal).
Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos del
lado recto forman ángulos de 45° con el mismo, consecuencia de que FEUW y DFWT
sean cuadrados, junto con la construcción mencionada en la sección anterior.
Además, tales tangentes se cortan en la directriz de forma perpendicular,
precisamente en el punto de proyección W del foco, propiedades que pueden ser
aprovechadas para construir una aproximación geométrica del foco y la directriz
cuando éstos son desconocidos.
Semejanza de todas las parábolas
Todas las parábolas son semejantes, es únicamente la escala
la que crea la apariencia de que tienen formas diferentes.
Dado que la parábola es una sección cónica, también puede
describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad . La unicidad se refiere a que todas las
parábolas son semejantes, es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.
Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas
(basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que los parámetros de
la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndola más ancha o estrecha.
La verdad es que todas las parábolas tienen la misma forma, pero la escala
(zoom) crea la ilusión de que hay parábolas de formas diferentes.
Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz
una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar la construcción
descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que
depende de la distancia del punto a la directriz.
Tangentes a la parábola
La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de
tangencia y su proyección.
Uso de las propiedades de las tangentes para construir una
parábola mediante dobleces en papel.
Un resultado importante en relación a las tangentes de una
parábola establece:
La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de
tangencia y su proyección.
Llamemos F al foco de una parábola, P a un punto cualquiera de
la misma y T a la proyección de este sobre la directriz. Sea MP la mediatriz
del triángulo FPT, el cual es isósceles por ser iguales las distancias FP y PT,
como se ha visto. Luego MP biseca al ángulo FPT, restando verificar si es
tangente a la parábola en el punto P.
Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la
directriz. Puesto que FQ=QU y QU<QT, entonces FQ<QT. Dado que esto es
cierto para cualquier otro punto de la parábola, se concluye que toda la
parábola está de un mismo lado de MP, y como la desigualdad es estricta, no hay
otro punto de la parábola que toque a la recta MP, esto quiere decir que MP es
la tangente de la parábola en P.
Aplicaciones prácticas
Una consecuencia de gran importancia es que la tangente
refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en dirección al foco. Las
aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios
aprovechan el principio concentrando señales recibidas desde un emisor lejano
en un receptor colocado en la posición del foco.
La concentración de la radiación solar en un punto, mediante
un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas cocinas solares y
grandes centrales captadoras de energía solar.
Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará
un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas y faros tienen espejos con
superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos
emanados de una fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el
emisor se desplaza de la posición focal.
La parábola refleja sobre el foco los rayos paralelos al
eje. Análogamente, un emisor situado en el foco, enviará un haz de rayos
paralelos al eje.
Los radiotelescopios concentran los haces de señales en un
receptor situado en el foco. El mismo principio se aplica en una antena de
radar.
Cocina solar de concentrador parabólico. El mismo método se
emplea en las grandes centrales captadoras de energía solar.
Los faros de los automóviles envían haces de luz paralelos,
si la bombilla se sitúa en el foco de una superficie parabólica.
Ecuaciones de la parábola
Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.
Prueba geométrica de la relación y=ax2.
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un
estudio de las formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje
coincide con el eje de las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2
donde el parámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamente
descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todas las
parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo, la parábola
se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «hacia abajo».
Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible
hasta el desarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada
en la ecuación anterior ya estaba presente en los trabajos de Apolonio,1 y se
bosquejará a continuación usando notación moderna.
Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de
un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea
QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y
PV al valor y). Considerando la sección circular que pasa por Q y es paralela a
la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
.
Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son
semejantes y así:
.
Usando nuevamente los paralelismos:
.
Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV²
resulta en
.
Pero el valor de es
una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendo
Arroja la expresión moderna y=ax².
Parábolas verticales, con ecuaciones de la forma y=ax²+bx+c.
Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener
ahora la ecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su
vértice.
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su
vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,
Agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma
equivalente:
La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la
forma .
Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones
similares pero intercambiando y por x y viceversa. Así tendríamos:
La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la
forma .
Ecuación involucrando la distancia focal
Ecuación de una parábola vertical.
Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice
(variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dados dos puntos
fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice y foco ya que la
directriz queda automáticamente fija como la perpendicular a la línea que une
el foco con el vértice y a esa misma distancia del último.
Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y
el foco es (0,p). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por
(0,-p). A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal,
de modo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con esta configuración
se tiene:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en
(0, p) es .
De forma alterna:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en
(0,p) es .
Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la
longitud del lado recto de la parábola.
Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se
abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que se abre hacia abajo es
similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,-p) y de
esta forma:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en
(0,-p) es .
Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se
obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de x, y:
La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en
(p,0) es ,
Obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las
parábolas hacia la izquierda.
Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el
centro se obtienen mediante una traslación. En el caso común de la parábola
vertical hacia arriba se tiene
La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en
(h, k+p) es ,
Mientras que para la parábola horizontal se intercambia x
con y:.
La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en
(h+p, k) es .
Ecuación general de una parábola
Hasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos
a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma las fórmulas son funciones
de x ó de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un
par de ejes de coordenadas ortogonales.
La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe
cualquier posición en un plano es:
si y sólo si y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos
Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un
sistema de referencia en el que la ecuación anterior se exprese mediante una
fórmula algebraica de la forma , donde a es distinto de cero.
aqui os dejo un video explicando como Obtener los elementos
de una parábola dada su ecuación ordinaria (vértical)
